重要性采样求均值
从蒙特卡洛积分说起很容易理解重要性采样，参见这篇文章：从蒙特卡洛积分到重要性采样。这里关于重要性采样的解释也很精彩，尤其是：
图中p(z)与f(z)的关系，p(z)是一种分布，是相对于z轴的采样点而言的，比如在红色的两个驼峰处，z的取点比较多，在其他地方z的取点就比较少，这叫样本分布服从p(z)。对于f(z)是一种映射关系，将z值映射到其他维度。比如我们熟悉的y = f(x)，将x映射到y。我们所说的求均值就是求f(z)的均值。
通过重要性采样，原本难以描述的\(p(x)\)就转化为容易计算的\(q(x)\)了： \(\begin{align} \mathbb{E}[f]&=\int f(z)p(z)dz\\ &=\int f(z)\frac{p(z)}{q(z)}q(z)dz\\ &\approx\frac{1}{N}\sum_{k=1}^{N}\frac{p(z^{(k)})}{q(z^{(k)})}f(z^{(k)}) \end{align}\) 其中，\(\frac{p(z)}{q(z)}\)即为重要性权重，求\(f(z)\)服从\(p(z)\)分布的均值的问题就转化为\(f(z)\frac{p(z)}{q(z)}\)服从\(q(z)\)分布的均值问题了。
